Nesta publicação, consideraremos um dos teoremas clássicos da geometria afim – o teorema de Ceva, que recebeu tal nome em homenagem ao engenheiro italiano Giovanni Ceva. Analisaremos também um exemplo de resolução do problema para consolidar o material apresentado.
Declaração do teorema
Triângulo dado abc, em que cada vértice está conectado a um ponto do lado oposto.
Assim, obtemos três segmentos (AA', BB' и CC'), que são chamados cevianos.
Esses segmentos se cruzam em um ponto se e somente se a seguinte igualdade for válida:
|E'| |NÃO'| |CB'| = |BC'| |MUDANÇA'| |AB'|
O teorema também pode ser apresentado desta forma (é determinado em que proporção os pontos dividem os lados):
Teorema trigonométrico de Ceva
Nota: todos os cantos são orientados.
Exemplo de um problema
Triângulo dado abc com pontos PARA', B' и VS' dos lados BC, AC и AB, respectivamente. Os vértices do triângulo são conectados aos pontos dados e os segmentos formados passam por um ponto. Ao mesmo tempo, os pontos PARA' и B' tomadas nos pontos médios dos lados opostos correspondentes. Descubra em que proporção o ponto VS' divide o lado AB.
Solução
Vamos desenhar um desenho de acordo com as condições do problema. Para nossa conveniência, adotamos a seguinte notação:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Resta apenas compor a razão dos segmentos de acordo com o teorema de Ceva e substituir a notação aceita:
Reduzindo as frações, temos:
Conseqüentemente, AC' = C'B, ou seja, ponto VS' divide o lado AB ao meio.
Portanto, em nosso triângulo, os segmentos AA', BB' и CC' são medianos. Tendo resolvido o problema, provamos que eles se cruzam em um ponto (válido para qualquer triângulo).
Observação: usando o teorema de Ceva, pode-se provar que em um triângulo em um ponto, as mediatrizes ou alturas também se cruzam.