Nesta publicação, consideraremos um dos principais teoremas da geometria euclidiana – o teorema de Stewart, que recebeu tal nome em homenagem ao matemático inglês M. Stewart, que o provou. Também analisaremos detalhadamente um exemplo de resolução do problema para consolidar o material apresentado.
Declaração do teorema
Triângulo de Dan abc. Do lado dele AC ponto tomado D, que está ligado ao topo B. Aceitamos a seguinte notação:
- AB = um
- BC = b
- BD = p
- DA = x
- DC = e
Para este triângulo, a igualdade é verdadeira:
Aplicação do teorema
Do teorema de Stewart, fórmulas podem ser derivadas para encontrar as medianas e bissetrizes de um triângulo:
1. O comprimento da bissetriz
Deixei lc é a bissetriz desenhada ao lado c, que é dividido em segmentos x и y. Vamos pegar os outros dois lados do triângulo como a и b… Nesse caso:
2. Comprimento médio
Deixei mc é a mediana virada para baixo para o lado c. Vamos denotar os outros dois lados do triângulo como a и b… Então:
Exemplo de um problema
Triângulo dado ABC. No lado AC igual a 9 cm, ponto tomado D, que divide o lado de modo que AD o dobro do tempo DC. O comprimento do segmento que liga o vértice B e apontar D, é de 5cm. Neste caso, o triângulo formado ABD é isósceles. Encontre os lados restantes do triângulo abc.
Solução
Vamos descrever as condições do problema na forma de um desenho.
AC = AD + DC = 9 cm AD mais DC duas vezes, ou seja AD = 2DC.
Consequentemente, o 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Então, DC = 3cm, AD = 6 cm
Porque triângulo ABD – isósceles e laterais AD é 6 cm, então eles são iguais AB и BDIe AB = 5 cm
Resta apenas encontrar BC, derivando a fórmula do teorema de Stewart:
Substituímos os valores conhecidos nesta expressão:
Desta forma, BC = √52 ≈ 7,21cm.