Qual é o limite de uma função

Nesta publicação, consideraremos um dos principais conceitos da análise matemática – o limite de uma função: sua definição, bem como várias soluções com exemplos práticos.

Determinando o limite de uma função

Limite de função – o valor para o qual o valor desta função tende quando seu argumento tende ao ponto limite.

Limite de registro:

• o limite é indicado pelo ícone lim;
• abaixo é adicionado qual valor o argumento (variável) da função tende. Geralmente isso x, mas não necessariamente, por exemplo:x→1″;
• então a própria função é adicionada à direita, por exemplo:

  

Assim, o registro final do limite fica assim (no nosso caso):

Lê como “limite da função quando x tende à unidade”.

x→ 1 – isso significa que “x” assume consistentemente valores que se aproximam infinitamente da unidade, mas nunca coincidem com ela (ela não será alcançada).

Limites de decisão

Com um determinado número

Vamos resolver o limite acima. Para isso, basta substituir a unidade na função (porque x→1):

Assim, para resolver o limite, primeiro tentamos simplesmente substituir o número dado na função abaixo dele (se x tende a um número específico).

Com infinito

Nesse caso, o argumento da função aumenta infinitamente, ou seja, "X" tende ao infinito (∞). Por exemplo:

If x→∞, então a função dada tende a menos infinito (-∞), porque:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 etc.

Outro exemplo mais complexo

Para resolver este limite, também, basta aumentar os valores x e veja o “comportamento” da função neste caso.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Assim, para "X"tendendo ao infinito, a função x² +3x –6 cresce indefinidamente.

Com incerteza (x tende ao infinito)

Neste caso, estamos falando de limites, quando a função é uma fração, cujo numerador e denominador são polinômios. Em que "X" tende ao infinito.

Exemplo: vamos calcular o limite abaixo.

Solução

As expressões no numerador e no denominador tendem ao infinito. Pode-se supor que neste caso a solução será a seguinte:

No entanto, nem tudo tão simples. Para resolver o limite, precisamos fazer o seguinte:

1. Encontrar x à maior potência para o numerador (no nosso caso, são dois).

2. Da mesma forma, definimos x à maior potência para o denominador (também é igual a dois).

3. Agora dividimos o numerador e o denominador por x em grau superior. No nosso caso, em ambos os casos – no segundo, mas se fossem diferentes, deveríamos tirar o grau mais alto.

4. No resultado resultante, todas as frações tendem a zero, portanto a resposta é 1/2.

Com incerteza (x tende a um número específico)

Tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, no entanto, "X" tende a um número específico, não ao infinito.

Nesse caso, fechamos condicionalmente nossos olhos para o fato de que o denominador é zero.

Exemplo: Vamos encontrar o limite da função abaixo.

Solução

1. Primeiro, vamos substituir o número 1 na função, para a qual "X". Obtemos a incerteza da forma que estamos considerando.

2. Em seguida, decompomos o numerador e o denominador em fatores. Para fazer isso, você pode usar as fórmulas de multiplicação abreviadas, se forem adequadas, ou.

No nosso caso, as raízes da expressão no numerador (2x² – 5x + 3 = 0) são os números 1 e 1,5. Portanto, pode ser representado como: 2(x-1)(x-1,5).

Denominador (x-1) é inicialmente simples.

3. Obtemos esse limite modificado:

4. A fração pode ser reduzida por (x-1):

5. Resta apenas substituir o número 1 na expressão obtida no limite: