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Neste artigo, consideraremos a definição da mediana de um triângulo, listaremos suas propriedades e também analisaremos exemplos de resolução de problemas para consolidar o material teórico.
Definição da mediana de um triângulo
Mediana é um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo com o ponto médio do lado oposto a esse vértice.
- BF é a mediana desenhada para o lado AC.
- AF = CF
mediana básica – o ponto de intersecção da mediana com o lado do triângulo, ou seja, o ponto médio deste lado (ponto F).
propriedades medianas
Propriedade 1 (principal)
Porque se um triângulo tem três vértices e três lados, então existem três medianas, respectivamente. Todos eles se cruzam em um pontoO), que é chamado centróide or centro de gravidade de um triângulo.
No ponto de intersecção das medianas, cada uma delas é dividida na proporção de 2:1, contando de cima para baixo. Aqueles.:
- AO = 2OE
- BO = 2OF
- CO = 2OD
Propriedade 2
A mediana divide o triângulo em 2 triângulos de mesma área.
S1 = S2
Propriedade 3
Três medianas dividem o triângulo em 6 triângulos de mesma área.
S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6
Propriedade 4
A menor mediana corresponde ao maior lado do triângulo e vice-versa.
- AC é o lado mais comprido, daí a mediana BF - o mais curto.
- AB é o lado mais curto, daí a mediana CD - o mais longo.
Propriedade 5
Suponha que conhecemos todos os lados do triângulo (vamos tomá-los como a, b и c).
comprimento médio mapuxado para o lado a, pode ser encontrado pela fórmula:
Exemplos de tarefas
Tarefa 1
A área de uma das figuras formadas como resultado da interseção de três medianas em um triângulo é de 5 cm2. Encontre a área do triângulo.
Solução
De acordo com a propriedade 3, discutida acima, como resultado da interseção de três medianas, 6 triângulos são formados, iguais em área. Consequentemente:
S△ = 5 cm2 ⋅ 6 = 30 centímetros2.
Tarefa 2
Os lados do triângulo são 6, 8 e 10 cm. Encontre a mediana desenhada para o lado com um comprimento de 6 cm.
Solução
Vamos usar a fórmula dada na propriedade 5:
