Extraindo a raiz de um número complexo

Nesta publicação, veremos como você pode obter a raiz de um número complexo e também como isso pode ajudar na resolução de equações quadráticas cujo discriminante é menor que zero.

Extraindo a raiz de um número complexo

Raiz quadrada

Como sabemos, é impossível extrair a raiz de um número real negativo. Mas quando se trata de números complexos, essa ação pode ser realizada. Vamos descobrir.

Digamos que temos um número z = -9. Para √-9 existem duas raízes:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Vamos verificar os resultados obtidos resolvendo a equação z² = -9, sem esquecer que i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ eu² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ eu² = 9 ⋅ (-1) = -9

Assim, provamos que -3i и 3i são raízes √-9.

A raiz de um número negativo geralmente é escrita assim:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i etc.

Raiz à potência de n

Suponha que nos sejam dadas equações da forma z = ⁿ√w… Tem n raízes (z₀, De₁, De₂,…,z_n-1), que pode ser calculado pela fórmula abaixo:

|w| é o módulo de um número complexo w;

φ - seu argumento

k é um parâmetro que recebe os valores: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Equações quadráticas com raízes complexas

Extrair a raiz de um número negativo muda a ideia usual de uXNUMXbuXNUMXb. Se o discriminante (D) for menor que zero, então não pode haver raízes reais, mas elas podem ser representadas como números complexos.

Exemplo

Vamos resolver a equação x² – 8x + 20 = 0.

Solução

uma = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, mas ainda podemos extrair a raiz do discriminante negativo:

√D = √-16 = ±4i

Agora podemos calcular as raízes:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4±2i.

Portanto, a equação x² – 8x + 20 = 0 tem duas raízes conjugadas complexas:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i