Elevando um número complexo a uma potência natural

Nesta publicação, consideraremos como um número complexo pode ser elevado a uma potência (inclusive usando a fórmula De Moivre). O material teórico é acompanhado de exemplos para melhor compreensão.

Elevando um número complexo a uma potência

Primeiro, lembre-se de que um número complexo tem a forma geral: z = a + bi (forma algébrica).

Agora podemos prosseguir diretamente para a solução do problema.

Numero quadrado

Podemos representar o grau como um produto dos mesmos fatores, e então encontrar seu produto (lembrando que i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

1 exemplo:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Você também pode usar, ou seja, o quadrado da soma:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi-b²

Observação: Da mesma forma, se necessário, podem ser obtidas fórmulas para o quadrado da diferença, o cubo da soma/diferença, etc.

enésimo grau

Aumentar um número complexo z em espécie n muito mais fácil se for representado na forma trigonométrica.

Lembre-se de que, em geral, a notação de um número se parece com isso: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sen φ).

Para exponenciação, você pode usar Fórmula de De Moivre (assim nomeado após o matemático inglês Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sen(nφ))

A fórmula é obtida escrevendo na forma trigonométrica (os módulos são multiplicados e os argumentos são adicionados).

Exemplo 2

Aumentar um número complexo z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sen 35°) ao oitavo grau.

Solução

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sen(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sen 280°).