Nesta publicação, consideraremos o que é o método gaussiano, por que ele é necessário e qual é o seu princípio. Também demonstraremos usando um exemplo prático como o método pode ser aplicado para resolver um sistema de equações lineares.
Descrição do método de Gauss
Método de Gauss é o método clássico de eliminação sequencial de variáveis usado para resolver . É nomeado após o matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Mas antes, lembremos que o SLAU pode:
- ter uma única solução;
- tem um número infinito de soluções;
- ser incompatíveis, ou seja, não têm soluções.
Benefícios práticos
O método de Gauss é uma ótima maneira de resolver um SLAE que inclui mais de três equações lineares, bem como sistemas que não são quadrados.
Princípio do método de Gauss
O método inclui as seguintes etapas:
- direto – a matriz aumentada correspondente ao sistema de equações, é reduzida pelo caminho acima das linhas para a forma triangular superior (degrau), ou seja, sob a diagonal principal deve haver apenas elementos iguais a zero.
- em caminho duplo – na matriz resultante, os elementos acima da diagonal principal também são zerados (vista triangular inferior).
Exemplo de solução SLAE
Vamos resolver o sistema de equações lineares abaixo usando o método de Gauss.
Solução
1. Para começar, apresentamos o SLAE na forma de uma matriz expandida.
2. Agora nossa tarefa é redefinir todos os elementos sob a diagonal principal. Outras ações dependem da matriz específica, abaixo descreveremos aquelas que se aplicam ao nosso caso. Primeiro, trocamos as linhas, colocando seus primeiros elementos em ordem crescente.
3. Subtraia da segunda linha duas vezes a primeira e da terceira – triplique a primeira.
4. Adicione a segunda linha à terceira linha.
5. Subtraia a segunda linha da primeira linha e, ao mesmo tempo, divida a terceira linha por -10.
6. A primeira etapa está concluída. Agora precisamos obter os elementos nulos acima da diagonal principal. Para fazer isso, subtraia o terceiro multiplicado por 7 da primeira linha e adicione o terceiro multiplicado por 5 ao segundo.
7. A matriz expandida final tem esta aparência:
8. Corresponde ao sistema de equações:
Responda: SLAU raiz: x = 2, y = 3, z = 1.