Linhas dependentes e independentes lineares: definição, exemplos

Nesta publicação, consideraremos o que é uma combinação linear de strings, strings linearmente dependentes e independentes. Daremos também exemplos para uma melhor compreensão do material teórico.

Definindo uma combinação linear de strings

Combinação linear (LK) termo s₁Com o ₂, ..., s_n matriz A chamada de expressão da seguinte forma:

αs₁ +αs₂ +… + αs_n

Se todos os coeficientes α_i são iguais a zero, então LC é trivial. Em outras palavras, a combinação linear trivial é igual à linha zero.

Por exemplo: 0 · segundos₁ + 0·s₂ + 0·s₃

Assim, se pelo menos um dos coeficientes α_i não é igual a zero, então LC é não trivial.

Por exemplo: 0 · segundos₁ + 2·s₂ + 0·s₃

Linhas linearmente dependentes e independentes

O sistema de cordas é linearmente dependente (LZ) se houver uma combinação linear não trivial deles, que é igual à linha zero.

Portanto, segue-se que um LC não trivial pode, em alguns casos, ser igual à string zero.

O sistema de cordas é Linearmente independente (LNZ) se apenas o LC trivial for igual à string nula.

Observações:

• Em uma matriz quadrada, o sistema de linhas é um LZ somente se o determinante dessa matriz for zero (que o = 0).
• Em uma matriz quadrada, o sistema de linhas é um LIS somente se o determinante dessa matriz não for igual a zero (que o ≠ 0).

Exemplo de um problema

Vamos descobrir se o sistema de strings é {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} linearmente dependente.

Decisão:

1. Primeiro, vamos fazer um LC.

α₁{3 4} + um₂{9}.

2. Agora vamos descobrir quais valores devem assumir α₁ и α₂para que a combinação linear seja igual à string nula.

α₁{3 4} + um₂{9 12} = {0 0}.

3. Vamos fazer um sistema de equações:

4. Divida a primeira equação por três, a segunda por quatro:

5. A solução deste sistema é qualquer α₁ и α₂Com α₁ = -3a₂.

Por exemplo, se α₂ = 2então α₁ = -6. Substituímos esses valores no sistema de equações acima e obtemos:

Responda: então as linhas s₁ и s₂ linearmente dependente.