Propriedades de altura de um triângulo retângulo

Nesta publicação, consideraremos as principais propriedades da altura em um triângulo retângulo e também analisaremos exemplos de resolução de problemas neste tópico.

Observação: o triângulo é chamado retangular, se um de seus ângulos for reto (igual a 90°) e os outros dois forem agudos (<90°).

Propriedades de altura em um triângulo retângulo

Propriedade 1

Um triângulo retângulo tem duas alturas (h₁ и h₂) coincidem com suas pernas.

terceira altura (h₃) desce até a hipotenusa a partir de um ângulo reto.

Propriedade 2

O ortocentro (ponto de intersecção das alturas) de um triângulo retângulo está no vértice do ângulo reto.

Propriedade 3

A altura em um triângulo retângulo desenhado para a hipotenusa divide-o em dois triângulos retângulos semelhantes, que também são semelhantes ao original.

1. △ABD ~ △abc em dois ângulos iguais: ∠ADB = ∠LAC (linhas retas), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~ △abc em dois ângulos iguais: ∠ADC = ∠LAC (linhas retas), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC em dois ângulos iguais: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Prova: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Ao mesmo tempo ∠ACD (ACB) = 90° – ∠abc.

Portanto, ∠BAD = ∠ACD.

Pode-se provar de maneira análoga que ∠ABD = ∠DAC.

Propriedade 4

Em um triângulo retângulo, a altura desenhada para a hipotenusa é calculada da seguinte forma:

1. Através de segmentos na hipotenusa, formado como resultado de sua divisão pela base da altura:

2. Através dos comprimentos dos lados do triângulo:

Esta fórmula é derivada de Propriedades do seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo (o seno do ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa):

Observação: a um triângulo retângulo, as propriedades gerais de altura apresentadas em nossa publicação também se aplicam.

Exemplo de um problema

Tarefa 1

A hipotenusa de um triângulo retângulo é dividida pela altura traçada a ele nos segmentos 5 e 13 cm. Encontre o comprimento desta altura.

Solução

Vamos usar a primeira fórmula apresentada em Propriedade 4:

Tarefa 2

Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 e 12 cm. Encontre o comprimento da altitude traçada para a hipotenusa.

Solução

Primeiro, vamos encontrar o comprimento da hipotenusa ao longo (deixe os catetos do triângulo serem "para" и "B", e a hipotenusa é “contra”):

c² = A² + B² = 9² + 12² = 225.

Consequentemente, o с = 15 cm

Agora podemos aplicar a segunda fórmula de Propriedades 4discutido acima: