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Nesta publicação, consideraremos a definição do posto de uma matriz, bem como os métodos pelos quais ela pode ser encontrada. Também analisaremos exemplos para demonstrar a aplicação da teoria na prática.
Determinando o posto de uma matriz
Classificação da matriz é a classificação do seu sistema de linhas ou colunas. Qualquer matriz tem seus postos de linha e coluna, que são iguais entre si.
Classificação do sistema de linhas é o número máximo de linhas linearmente independentes. A classificação do sistema de colunas é determinada de maneira semelhante.
Observações:
- O posto da matriz zero (indicado pelo símbolo “θ“) de qualquer tamanho é zero.
- O posto de qualquer vetor linha ou vetor coluna diferente de zero é igual a um.
- Se uma matriz de qualquer tamanho contiver pelo menos um elemento que não seja igual a zero, sua classificação não será menor que um.
- O posto de uma matriz não é maior que sua dimensão mínima.
- As transformações elementares realizadas em uma matriz não alteram sua classificação.
Encontrando o posto de uma matriz
Método de Fringing Menor
O posto de uma matriz é igual à ordem máxima de um diferente de zero.
O algoritmo é o seguinte: encontre os menores das ordens mais baixas para as mais altas. Se menor nª ordem não é igual a zero, e todas as subsequentes (n+1) são iguais a 0, então o posto da matriz é n.
Exemplo
Para ficar mais claro, vamos dar um exemplo prático e encontrar o posto da matriz A abaixo, usando o método de fronteira com menores.
Solução
Estamos lidando com uma matriz 4 × 4, portanto, seu posto não pode ser maior que 4. Além disso, existem elementos diferentes de zero na matriz, o que significa que seu posto não é menor que um. Então vamos começar:
1. Comece a verificar menores de segunda ordem. Para começar, pegamos duas linhas da primeira e segunda colunas.
Menor é igual a zero.
Portanto, passamos para a próxima menor (a primeira coluna permanece e, em vez da segunda, pegamos a terceira).
O menor é 54≠0, então o posto da matriz é pelo menos dois.
Observação: Se esse menor fosse igual a zero, verificaríamos ainda as seguintes combinações:
Se necessário, a enumeração pode ser continuada da mesma maneira com strings:
- 1 e 3;
- 1 e 4;
- 2 e 3;
- 2 e 4;
- 3 e 4.
Se todos os menores de segunda ordem fossem iguais a zero, então o posto da matriz seria igual a um.
2. Conseguimos quase imediatamente encontrar um menor que nos agrade. Então vamos passar para menores de terceira ordem.
Ao menor encontrado de segunda ordem, que deu um resultado diferente de zero, adicionamos uma linha e uma das colunas destacadas em verde (começamos da segunda).
O menor acabou sendo zero.
Portanto, alteramos a segunda coluna para a quarta. E na segunda tentativa, conseguimos encontrar um menor que não seja igual a zero, o que significa que o posto da matriz não pode ser menor que 3.
Observação: se o resultado fosse zero novamente, em vez da segunda linha, iríamos adiante na quarta e continuaríamos a busca por um menor “bom”.
3. Agora resta determinar menores de quarta ordem com base no que foi encontrado anteriormente. Neste caso, é aquele que corresponde ao determinante da matriz.
Menor é igual a 144≠0. Isso significa que o posto da matriz A é igual a 4.
Redução de uma matriz para uma forma escalonada
O posto de uma matriz de passos é igual ao número de suas linhas diferentes de zero. Ou seja, tudo o que precisamos fazer é trazer a matriz para a forma apropriada, por exemplo, usando , que, como mencionamos acima, não altera sua classificação.
Exemplo
Encontrar o posto de uma matriz B abaixo de. Não tomamos um exemplo excessivamente complexo, pois nosso objetivo principal é simplesmente demonstrar a aplicação do método na prática.
Solução
1. Primeiro, subtraia o dobro da segunda linha.
2. Agora subtraia a primeira linha da terceira linha, multiplicada por quatro.
Assim, obtemos uma matriz degrau na qual o número de linhas não nulas é igual a dois, portanto seu posto também é igual a 2.