Teorema de Tales: formulação e exemplo de resolução do problema

Nesta publicação, consideraremos um dos principais teoremas da geometria da classe 8 – o teorema de Tales, que recebeu tal nome em homenagem ao matemático e filósofo grego Tales de Mileto. Analisaremos também um exemplo de resolução do problema para consolidar o material apresentado.

Declaração do teorema

Se segmentos iguais são medidos em uma das duas linhas retas e linhas paralelas são traçadas através de suas extremidades, então, cruzando a segunda linha reta, elas cortarão segmentos iguais entre si.

• A₁A₂ = A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Observação: A interseção mútua das secantes não desempenha um papel, ou seja, o teorema é verdadeiro tanto para linhas que se cruzam quanto para linhas paralelas. A localização dos segmentos nas secantes também não é importante.

Formulação generalizada

O teorema de Tales é um caso especial teoremas do segmento proporcional*: linhas paralelas cortam segmentos proporcionais em secantes.

De acordo com isso, para o nosso desenho acima, a seguinte igualdade é verdadeira:

* porque segmentos iguais, inclusive, são proporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a um.

Teorema de Tales inverso

1. Para secantes de interseção

Se as linhas cruzam duas outras linhas (paralelas ou não) e cortam segmentos iguais ou proporcionais nelas, começando pelo topo, essas linhas são paralelas.

Do teorema inverso segue:

Condição necessária: segmentos iguais devem começar do topo.

2. Para secantes paralelas

Os segmentos em ambas as secantes devem ser iguais entre si. Somente neste caso o teorema é aplicável.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = A₂A₃ =B₂B₃ ...

Exemplo de um problema

Dado um segmento AB na superfície. Divida-o em 3 partes iguais.

Solução

Desenhe de um ponto A diretamente a e marque nele três segmentos iguais consecutivos: AC, CD и DE.

ponto extremo E em linha reta a conectar com ponto B no segmento. Depois disso, pelos pontos restantes C и D paralelo BE desenhe duas linhas que cruzam o segmento AB.

Os pontos de intersecção assim formados no segmento AB dividem-no em três partes iguais (segundo o teorema de Thales).