Encontrando a matriz inversa

Nesta publicação, vamos considerar o que é uma matriz inversa, e também, usando um exemplo prático, vamos analisar como ela pode ser encontrada usando uma fórmula especial e um algoritmo para ações sequenciais.

Definição de matriz inversa

Primeiro, vamos lembrar o que são recíprocos em matemática. Digamos que temos o número 7. Então seu inverso será 7^-1 or ¹/₇. Se você multiplicar esses números, o resultado será um, ou seja, 7 7^-1 = 1.

Quase o mesmo com matrizes. Reverter tal matriz é chamada, multiplicando pela original, obtemos a identidade. Ela é rotulada como A^-1.

Uma · Uma^-1 =E

Algoritmo para encontrar a matriz inversa

Para encontrar a matriz inversa, você precisa ser capaz de calcular matrizes, bem como ter as habilidades para realizar certas ações com elas.

Deve-se notar de imediato que a inversa só pode ser encontrada para uma matriz quadrada, e isso é feito usando a fórmula abaixo:

|A| – determinante matricial;

A^T_M é a matriz transposta de adições algébricas.

Observação: se o determinante for zero, então a matriz inversa não existe.

Exemplo

Vamos encontrar para a matriz A abaixo é o inverso dele.

Solução

1. Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz dada.

2. Agora vamos fazer uma matriz que tenha as mesmas dimensões da original:

Precisamos descobrir quais números devem substituir os asteriscos. Vamos começar com o elemento superior esquerdo da matriz. O menor é encontrado riscando a linha e a coluna em que está localizado, ou seja, em ambos os casos, no número um.

O número que resta após o tachado é o menor necessário, ou seja, M₁₁ = 8.

Da mesma forma, encontramos os menores para os elementos restantes da matriz e obtemos o seguinte resultado.

3. Definimos a matriz de adições algébricas. Como calculá-los para cada elemento, consideramos em separado.

Por exemplo, para um elemento a₁₁ adição algébrica é considerada como segue:

A₁₁ = (-1)^{1 1 +} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Faça a transposição da matriz resultante de adições algébricas (ou seja, troque as colunas e linhas).

5. Resta apenas usar a fórmula acima para encontrar a matriz inversa.

Podemos deixar a resposta desta forma, sem dividir os elementos da matriz pelo número 11, pois nesse caso obtemos números fracionários feios.

Verificando o resultado

Para garantir que obtivemos a inversa da matriz original, podemos encontrar seu produto, que deve ser igual à matriz identidade.

Como resultado, obtivemos a matriz identidade, o que significa que fizemos tudo certo.