Sistema de equações algébricas lineares

Nesta publicação, consideraremos a definição de um sistema de equações algébricas lineares (SLAE), como ele se parece, quais tipos existem e também como apresentá-lo em forma de matriz, inclusive estendida.

Definição de um sistema de equações lineares

Sistema de equações algébricas lineares (ou “SLAU” para abreviar) é um sistema que geralmente se parece com isso:

• m é o número de equações;
• n é o número de variáveis.
• x₁, x₂,…,x_n - desconhecido;
• a₁₁,₁₂…, uma_mn – coeficientes para incógnitas;
• b₁, b₂,…,b_m – membros gratuitos.

Índices de coeficientes (a_ij) são formados da seguinte forma:

• i é o número da equação linear;
• j é o número da variável à qual o coeficiente se refere.

Solução SLAU – esses números c₁C₂, ..., c_n , em cujo cenário, em vez de x₁, x₂,…,x_n, todas as equações do sistema se transformarão em identidades.

Tipos de SLAU

1. homogéneo – todos os membros livres do sistema são iguais a zero (b₁ =b₂ =… =b_m = 0).

   

2. Heterogêneo – se a condição acima não for atendida.
3. Quadrado – o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou seja, m = n.

   

4. Subdeterminado – o número de incógnitas é maior que o número de equações.

   

5. sobrescrito Existem mais equações do que variáveis.

   

Dependendo do número de soluções, o SLAE pode ser:

1. Articulação tem pelo menos uma solução. Além disso, se for único, o sistema é chamado de definido, se houver várias soluções, é chamado de indefinido.

   

   O SLAE acima é conjunto, pois existe pelo menos uma solução: x = 2, y = 3.

2. incompatível O sistema não tem soluções.

   

   Os lados direitos das equações são os mesmos, mas os esquerdos não são. Assim, não há soluções.

Notação matricial do sistema

SLAE pode ser representado em forma de matriz:

AX = B

• A é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas:

  

• X – coluna de variáveis:

  

• B – coluna de membros gratuitos:

  

Exemplo

Representamos o sistema de equações abaixo na forma matricial:

Usando os formulários acima, compomos a matriz principal com coeficientes, colunas com membros desconhecidos e membros livres.

Registro completo do sistema de equações dado em forma de matriz:

Matriz SLAE Estendida

Se para a matriz do sistema A adicione a coluna de membros gratuitos à direita B, separando os dados com uma barra vertical, você obtém uma matriz estendida de SLAE.

Para o exemplo acima, fica assim:

– designação da matriz estendida.