O pequeno teorema de Fermat

Nesta publicação, consideraremos um dos principais teoremas da teoria dos inteiros –  O pequeno teorema de Fermatem homenagem ao matemático francês Pierre de Fermat. Analisaremos também um exemplo de resolução do problema para consolidar o material apresentado.

Declaração do teorema

1. Inicial

If p é um número primo a é um inteiro que não é divisível por pentão a^p-1 - 1 dividida pela p.

Está formalmente escrito assim: a^p-1 ≡ 1 (contra p).

Observação: Um número primo é um número natural que só é divisível por XNUMX e por ele mesmo sem resto.

Por exemplo:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• número 15 dividida pela 5 sem resto.

2. Alternativa

If p é um número primo, a qualquer número inteiro, então a^p comparável a a módulo p.

a^p ≡ um (contra p)

História de encontrar evidências

Pierre de Fermat formulou o teorema em 1640, mas não o provou. Mais tarde, isso foi feito por Gottfried Wilhelm Leibniz, um filósofo alemão, lógico, matemático, etc. Acredita-se que ele já tinha a prova em 1683, embora nunca tenha sido publicada. Vale ressaltar que o próprio Leibniz descobriu o teorema, sem saber que já havia sido formulado anteriormente.

A primeira prova do teorema foi publicada em 1736 e pertence ao suíço, alemão e matemático e mecânico Leonhard Euler. O Pequeno Teorema de Fermat é um caso especial do teorema de Euler.

Exemplo de um problema

Encontrar o resto de um número 2¹² on 12.

Solução

Vamos imaginar um número 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 é um número primo, portanto, pelo pequeno teorema de Fermat temos:

2¹¹ ≡ 2 (contra 11).

Conseqüentemente, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (contra 11).

Então o número 2¹² dividida pela 12 com resto igual a 4.