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Nesta publicação, consideraremos as propriedades básicas da altura em um triângulo equilátero (regular). Analisaremos também um exemplo de resolução de um problema sobre este tópico.
Observação: o triângulo é chamado equiláterose todos os seus lados forem iguais.
Propriedades de altura em um triângulo equilátero
Propriedade 1
Qualquer altura em um triângulo equilátero é ao mesmo tempo uma mediatriz, uma mediana e uma mediatriz.
- BD - altura rebaixada para o lado AC;
- BD é a mediana que divide o lado AC pela metade, ou seja Ad = dc;
- BD - bissetriz do ângulo ABC, ou seja, ∠ABD = ∠CBD;
- BD é a mediana perpendicular a AC.
Propriedade 2
Todas as três alturas em um triângulo equilátero têm o mesmo comprimento.
Ae = bd = cf
Propriedade 3
As alturas de um triângulo equilátero no ortocentro (ponto de interseção) são divididas na proporção de 2:1, contando a partir do vértice de onde são desenhadas.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Propriedade 4
O ortocentro de um triângulo equilátero é o centro dos círculos inscritos e circunscritos.
- R é o raio do círculo circunscrito;
- r é o raio do círculo inscrito;
- R = 2r (segue de Propriedades 3).
Propriedade 5
A altura em um triângulo equilátero o divide em dois triângulos retângulos de áreas iguais (áreas iguais).
S1 = S2
Três alturas em um triângulo equilátero dividem -o em 6 triângulos direito de área igual.
Propriedade 6
Conhecendo o comprimento do lado de um triângulo equilátero, sua altura pode ser calculada pela fórmula:
a é o lado do triângulo.
Exemplo de um problema
O raio de um círculo circunscrito a um triângulo equilátero é 7 cm. Encontre o lado desse triângulo.
Solução
Como sabemos de propriedades 3 и 4, o raio do círculo circunscrito é 2/3 da altura de um triângulo equilátero (h). Consequentemente, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Agora resta calcular o comprimento do lado do triângulo (a expressão é derivada da fórmula em Propriedade 6):
